Hlavným cieľom 2. cyklu matematického vzdelávanie je, aby žiaci preukázali základy matematickej gramotnosti, disponovali základnými matematickými poznatkami a používali veku a schopnostiam primerané matematické praktiky na riešenie problémov.
Výkonový štandard
1. cieľ vzdelávania pre 2. cyklus: Pracovať s prirodzenými číslami, zlomkami, desatinnými číslami a s celými zápornými číslami pri riešení úloh a problémov.
Žiak vie/dokáže:
- používať prirodzené čísla pri riešení problémov, na vyjadrovanie, odôvodňovanie a posudzovanie kvantitatívnych myšlienok a tvrdení,
- riešiť problémy v rôznych kontextoch pomocou aritmetických výrazov, vlastností a vzťahov medzi operáciami s prirodzenými číslami a modelovať aplikačné úlohy pomocou jednoduchých rovníc, nerovníc, resp. ďalších matematických nástrojov,
- interpretovať zlomky, identifikovať ich význam a výskyt v bežnom živote, používať ich pri riešení jednoduchých matematických a reálnych problémov na určenie časti celku a počtu prvkov časti celku,
- používať a interpretovať desatinné čísla v reálnych situáciách, vykonávať jednoduché operácie s desatinnými číslami a využívať ich pri premenách jednotiek,
- používať reprezentácie a poznať význam záporných čísel v bežnom živote a porovnávať celé záporné čísla.
2. cieľ vzdelávania pre 2. cyklus: Analyzovať, opísať a uplatniť pravidlá vo vzoroch a postupnostiach a riešiť praktické úlohy s využitím závislostí medzi veličinami alebo využitím vzťahov medzi rôznymi jednotkami miery.
Žiak vie/dokáže:
- objavovať, identifikovať a uplatňovať závislosti a vzťahy v matematických a aplikovaných zložitejších vzoroch a postupnostiach,
- objavovať priamu úmernosť v reálnom živote a opísať ju matematickým jazykom a využiť matematické nástroje pri riešení úloh s priamou úmernosťou,
- riešiť praktické úlohy vyžadujúce odhady a prevody jednotiek času, hmotnosti a objemu.
3. cieľ vzdelávania pre 2. cyklus: Zbierať, zaznamenávať, usporiadať a triediť údaje, hľadať vhodnú organizáciu údajov, tvoriť jednoduché frekvenčné tabuľky a grafy a interpretovať výsledky.
Žiak vie/dokáže:
- zbierať reálne a kontextovo relevantné údaje na základe pozorovania, merania alebo jednoduchého experimentu, prezentovať ich pomocou frekvenčných tabuliek, diagramov a aritmetického priemeru a interpretovať údaje z reálneho života v jednoduchých súvislostiach.
4. cieľ vzdelávania pre 2. cyklus: Riešiť jednoduché kombinatorické a pravdepodobnostné situácie.
Žiak vie/dokáže:
- modelovať a riešiť jednoduché kombinatorické situácie pomocou organizačného princípu, odhadovať a overovať ich výsledky, rozpoznávať ich v reálnom živote a hľadať stratégie na ich riešenie,
- modelovať a riešiť jednoduché pravdepodobnostné situácie vykonávaním experimentov, odhadovať a overovať ich výsledky, rozpoznávať ich v reálnom živote a posúdiť pravdepodobnosť udalosti.
5. cieľ vzdelávania pre 2. cyklus: Analyzovať zložitejšie geometrické útvary v rovine a priestore, využívať polohové a metrické vlastnosti útvarov pri riešení jednoduchých geometrických úloh.
Žiak vie/dokáže:
- rozlišovať, pomenovať a opísať rovinné a priestorové útvary pomocou ich významných prvkov a charakteristických vlastností a objavovať súvislosti medzi rovinnými a priestorovými útvarmi,
- využívať jednoduché geometrické vzťahy, polohové a metrické vlastnosti geometrických útvarov pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh pomocou vhodných nástrojov,
- riešiť jednoduché geometrické problémy s využitím uhlov a pochopiť podstatu porovnávania uhlov a operácií s uhlami,
- určovať mieru jednoduchých rovinných a priestorových útvarov pomocou vlastných a univerzálnych jednotiek dĺžky, obvodu, obsahu a objemu a používať ju v reálnom kontexte,
- určovať súmerné útvary a určovať zhodné útvary, používať osovú súmernosť a posunutie v jednoduchých aplikačných úlohách a hrách.
6. cieľ vzdelávania pre 2. cyklus: Riešiť úlohy na orientáciu v rovine a v priestore a úlohy rozvíjajúce priestorovú predstavivosť.
Žiak vie/dokáže:
- orientovať sa v priestore, opísať a zaznamenať polohu a pohyb v priestore,
- objavovať súvislosti medzi rovinnými a priestorovými útvarmi a riešiť problémy zaznamenávania jednoduchých stavieb z kociek.
7. cieľ vzdelávania pre 2. cyklus: Formulovať zložitejšie logické úvahy, objavovať a vysvetliť chyby v postupe, navrhovať stratégie a riešiť aplikačné úlohy.
Žiak vie/dokáže:
- používať matematické nástroje výrokovej logiky a množín na riešenie problémov, na komunikáciu a argumentáciu v súvislostiach na veku primeranej úrovni.
Obsahový štandard
Čísla a operácie s číslami
1. Rozširovanie oboru prirodzených čísel
Pojmy
Aktívne: zaokrúhľovanie, zaokrúhľovanie nahor a nadol, približne, presne
Pasívne: rozklad čísel; rád číslice a čísla; opačné čísla; odhad, záporné a kladné celé číslo
Vzťahy
porovnávanie, usporiadanie (vzostupné/zostupné) primerane veľkých prirodzených čísel; pozičný a rozvinutý zápis prirodzeného čísla do milión; vlastnosť navzájom opačných čísel; porovnávanie a usporiadanie celých čísel
Postupy
používanie pozičného a rozvinutého zápisu prirodzeného čísla, skladanie a rozkladanie prirodzeného čísla; zaokrúhľovanie primerane veľkých prirodzených čísel na daný rád, zaokrúhľovanie nahor/nadol; znázornenie celých záporných čísel na číselnej osi, porovnávanie a usporadúvanie celých čísel; modelovanie sčítania a odčítania celých čísel na prípravnej úrovni
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie reprezentácií prirodzených čísel do a nad milión; voľba vhodnej číselnej osi na znázornenie prirodzených čísel do a nad milión a na znázornenie celých čísel v rozsahu 〈-100,100〉; znalosť reprezentácií a reálnych interpretácií celých čísel.
Matematické modelovanie – modelovanie a riešenie situácií s prázdnym aj neprázdnym prienikom, riešenie úloh s primerane veľkými prirodzenými číslami, používanie odhadu a zaokrúhľovania pri riešení reálnych problémov s primerane veľkými prirodzenými číslami.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – čítanie a písanie primerane veľkých prirodzených čísel; komunikácia o primerane veľkých prirodzených číslach pri riešení úloh; používanie znaku „-“ pre zápis záporného čísla, čítanie a písanie celých čísel v intervale
〈-100,100〉.
2. Základy práce so zlomkami
Pojmy
Aktívne: zlomok, zlomková čiara, čitateľ, menovateľ
Vzťahy
ekvivalentnosť zlomkov (na modeloch); porovnávanie a usporiadanie zlomkov (pomocou modelov)
Postupy
používanie modelov zlomkov pri porovnávaní a usporadúvaní; vyznačenie a identifikácia rôzne zapísaných zlomkov, ktoré predstavujú tú istú časť celku (ekvivalentnosť zlomkov); vyznačenie a určenie zlomku ako čísla na číselnej osi medzi 0 a 1; určenie počtu prvkov časti celku; určenie celku, ak je daná jeho časť; sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom alebo s využitím ekvivalentných zlomkov v obore kladných čísel
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie geometrických modelov zlomkov (úsečkový, obdĺžnikový a kruhový) na porovnávanie, usporiadanie a jednoduché sčítanie a odčítanie zlomkov; používanie modelu číselnej osi na znázornenie zlomku; používanie predmetov na tvorbu reprezentácií pri určovaní počtu prvkov časti celku.
Matematické modelovanie – riešenie jednoduchých slovných úloh so zlomkami na určenie časti celku a počtu prvkov časti celku s porozumením; využívanie modelu ekvivalentných zlomkov pri sčítaní a odčítaní v obore kladných čísel.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – čítanie a zapisovanie zlomkov, počtové operácie so zlomkami; používanie proporčných vzťahov vyjadrených zlomkom v komunikácii a argumentácii; vysvetľovanie významu a použitie zlomkov v jednoduchých súvislostiach.
3. Základy práce s desatinnými číslami
Pojmy
Aktívne: desatinné číslo, desatinná čiarka, desatinné miesto
Vzťahy
desatinné číslo ako alternatívny zápis desatinného zlomku; porovnávanie, usporiadanie a zaokrúhľovanie (nahor/nadol) desatinných čísel; súvis desatinných a prirodzených čísel
Postupy
používanie písomných, pamäťových a elektronických algoritmov sčítania a odčítania v obore desatinných čísel; násobenie a delenie desatinných čísel číslami 10, 100 a 1 000; riešenie aplikačných úloh s desatinnými číslami (napr. premeny peňažných jednotiek, jednotiek dĺžky a hmotnosti)
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie vhodných reálnych reprezentácií desatinných čísel, voľba a používanie vhodnej číselnej osi na znázornenie desatinných čísel, na ich porovnávanie, usporiadanie a zaokrúhľovanie.
Matematické modelovanie – riešenie matematických a aplikačných úloh pomocou desatinných čísel s využitím sčítania a odčítania desatinných čísel; overovanie správnosti výsledkov pomocou navzájom opačných operácií s desatinnými číslami.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – čítanie, zapisovanie a znázorňovanie desatinných čísel; vysvetľovanie jednoduchých súvislostí medzi desatinnými číslami a desatinnými zlomkami; interpretovanie výsledkov riešenia úloh s desatinnými číslami a diskutovanie o relevantnosti výsledkov v kontexte aplikačnej úlohy.
4. Číselné výrazy a jednoduché rovnice a nerovnice v riešení úloh
Pojmy
Aktívne: súčet, sčítanec, rozdiel, menšenec, menšiteľ; súčin, činiteľ, podiel, delenec, deliteľ, zvyšok
Pasívne: neúplný podiel, neznáma
Vzťahy
vlastnosti operácií (komutatívnosť a asociatívnosť sčítania a násobenia; distributívnosť násobenia a delenia vzhľadom na sčítanie a odčítanie); vzťahy medzi operáciami, poradie operácií
Postupy
pamäťové, písomné a elektronické algoritmy operácií – sčítanie a odčítanie s primerane veľkými prirodzenými číslami, násobenie prirodzeného čísla dvojciferným a trojciferným číslom, delenie prirodzeného čísla jednociferným aj dvojciferným deliteľom bezo zvyšku aj so zvyškom; určenie a dodržiavanie poradia operácií a pravidlá pre počítanie so zátvorkami; identifikácia a oprava chýb v úprave a aplikácii aritmetických výrazov v riešení úloh; riešenie jednoduchých aj zložených slovných úloh na sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, vrátane nepriamo formulovaných slovných úloh; tvorba jednoduchých slovných úloh podľa vzoru alebo matematickej reprezentácie; riešenie jednoduchých rovníc a nerovníc a skúška správnosti
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – znalosť, výber a použitie reprezentácií aritmetických operácií.
Matematické modelovanie – rozhodovanie o použití a aplikovanie aritmetických operácií v obore prirodzených čísel na modelovanie a matematizáciu reálnych situácií; navrhovanie a vyberanie stratégie riešenia aplikačných úloh, využívanie vlastností a vzťahov medzi operáciami a dodržiavanie postupu riešenia slovných úloh; modelovanie matematických problémov pomocou jednoduchých rovníc a nerovníc a ich riešenie primeranými metódami.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – aktívne využívanie reprezentácií aritmetických operácií pri formulácii a interpretácii problémov; diskutovanie o vlastnostiach aritmetických operácií a ich použitie pri riešení problémov; vysvetľovanie zástupného symbolu alebo neznámej v jednoduchej rovnici alebo nerovnici; diskutovanie o zmysluplnosti výsledkov riešenia aplikačných úloh.
Závislosti, vzťahy a práca s údajmi
1. Práca so vzormi a postupnosťami
Pojmy
Aktívne: pravidlo
Pasívne: vzor, postupnosť čísel
Vzťahy
pravidlo a vlastnosti číselného alebo iného vzoru/postupnosti
Postupy
objavovanie pravidiel vzorov a postupností a ich aplikovanie; identifikácia jadra a pravidla vzoru alebo numerickej postupnosti; tvorba vzorov a číselných postupností podľa daného pravidla, použitie pravidla na doplnenie chýbajúceho člena/časti opakujúceho sa, rastúceho vzoru (napr. olo, ollo, olllo, …) alebo číselnej postupnosti; identifikácia a oprava chyby vo vzore alebo číselnej postupnosti; tvorba vlastných vzorov a postupností
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie a tvorba reprezentácií vzorov (opakujúcich sa aj rastúcich) a postupností (tvorených symbolmi, obrázkami, slovami, číslami).
Matematické modelovanie – analyzovanie a porovnávanie náročnejších vzorov s aplikovanými viacerými pravidlami alebo s viacerými správnymi riešeniami; nachádzanie vzorov v realite a ich matematické opísanie pomocou vybraných vhodných symbolov.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – komunikácia a diskutovanie o vlastnostiach vzorov a číselných postupností; zdôvodňovanie zaradenia a poradia prvkov vo vzore a postupnosti.
2. Rozšírené nástroje na prácu so závislosťami a vzťahmi
Pojmy
Aktívne: súčet, rozdiel, súčin, podiel, „o _ viac/menej“, „_-krát viac/menej“, „_násobok“, hmotnosť, gram, dekagram, kilogram, tona; objem, mililiter, deciliter, liter
Pasívne: číselný výraz
Vzťahy
závislosti medzi dvomi veličinami v priamej úmernosti; vzťahy medzi časovými, hmotnostnými, objemovými jednotkami
Postupy
vyčíslovanie číselných výrazov s použitím zátvoriek; vyjadrovanie matematických vzťahov pomocou symboliky aritmetiky; doplnenie alebo rozšírenie tabuľky priamej úmernosti; znázorňovanie údajov z tabuľky priamej úmernosti ako množiny bodov alebo priamky v súradnicovej sústave; premeny jednotiek času, hmotnosti a objemu; zmiešané jednotky a zložitejšie premeny (nielen susedné); odhadovanie hmotnosti a objemu (rádovo)
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – znalosť a používanie reprezentácií priamej úmernosti (tabuľka, graf priamej úmernosti); znalosť a používanie reálnych reprezentácií jednotiek času, hmotnosti a objemu.
Matematické modelovanie – spoľahlivé používanie aritmetických operácií a vyčíslenie číselných výrazov pri matematizácii a riešení úloh; navrhovanie stratégie a riešenie slovných úloh na priamu úmernosť pomocou reprezentácií (tabuľky, grafy, matematické zápisy); využívanie predstáv a skúseností s jednotkami času, hmotnosti a objemu pre odhadovanie a riešenie praktických úloh vyžadujúcich prevody týchto jednotiek.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – vyjadrovanie aritmetických vzťahov slovne a naopak; interpretovanie a zapísanie slovne vyjadrených aritmetických vzťahov; používanie aritmetickej symboliky (zátvorky a znaky operácií) na zápis vzťahov vyjadrených slovne a ich vyčíslenie; slovné opisovanie priamej úmernosti, interpretovanie súvislostí medzi priamo úmernými veličinami a zdôvodňovanie riešenia úloh s priamou úmernosťou; aktívne používanie jednotiek času, hmotnosti a objemu v komunikácii.
3. Rozšírené kombinatorické postupy a nástroje
Pojmy
Pasívne: možnosť, počet možností, systém
Vzťahy
pravidlá usporiadania viacerých prvkov, organizačný princíp usporiadania prvkov
Postupy
vytvorenie a aplikovanie organizačného princípu (systému) na vypisovanie všetkých možností; určovanie počtu možností kombinatorickej situácie manipulačnou činnosťou s predmetmi, vypisovaním všetkých možností alebo použitím tabuľky, či grafu; hľadanie chýbajúcej možnosti; tvorba dvoj-, troj- a štvorciferných čísel z danej množiny čísel, tvorba dvoj-, troj- a štvorprvkových množín z danej množiny predmetov/symbolov/farieb atď.
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – vyberanie a používanie vhodných reprezentácií kombinatorickej situácie (zoznam, tabuľka, graf, schéma).
Matematické modelovanie – voľba stratégie riešenia jednoduchej kombinatorickej úlohy a jej úprava v priebehu riešenia podľa potreby.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – opisovanie, zaznamenávanie a zdôvodňovanie systému usporiadania a vypisovania možností v kombinatorických situáciách.
4. Riešenie jednoduchých pravdepodobnostných situácií
Pojmy
Aktívne: isté, nemožné
Pasívne: pravdepodobné, nepravdepodobné, pravdepodobnosť
Vzťahy
rovnako, viac alebo menej pravdepodobné situácie (na jednoduchých modeloch)
Postupy
skúmanie a objavovanie pravdepodobnosti pomocou hier, pokusov a pozorovaní, rozlišovanie viac alebo menej pravdepodobnej situácie; tvorba predpokladov o viac alebo menej pravdepodobných udalostiach a ich overovanie pomocou jednoduchých experimentov; zisťovanie experimentálnej pravdepodobnosti jednoduchej pravdepodobnostnej hry použitím pokusu alebo pozorovania
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie vhodných reprezentácií na modelovanie a zaznamenanie pravdepodobnostnej situácie (zoznam, tabuľka).
Matematické modelovanie – realizovanie jednoduchých experimentov a riešenie jednoduchých problémov o pravdepodobnosti udalosti.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – komunikácia o viac alebo menej pravdepodobných situáciách, spolupráca pri realizácii jednoduchých pravdepodobnostných experimentov, interpretovanie a prezentovanie ich výsledkov; diskutovanie o stratégiách jednoduchých hier.
5. Rozšírené nástroje na prácu s údajmi
Pojmy
Aktívne: aritmetický priemer
Pasívne: legenda tabuľky/grafu
Vzťahy
súvislosť medzi údajmi a aritmetickým priemerom
Postupy
návrh a tvorba jednoduchej tabuľky a grafu zo súboru kvantitatívnych alebo kvalitatívnych údajov; odhadovanie aritmetického priemeru z grafickej reprezentácie hodnôt súboru; výpočet aritmetického priemeru súboru údajov (aj pomocou kalkulačky)
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – tvorba tabuľky alebo frekvenčného diagramu pomocou čísel, ikon a symbolov na základe pozorovania, experimentu alebo matematickej úvahy.
Matematické modelovanie – riešenie aplikačných úloh vyžadujúcich zber údajov a ich jednoduché spracovanie (usporiadanie a triedenie), interpretáciu tabuliek a jednoduchých diagramov (stĺpcový, čiarový, kruhový, piktogram); používanie digitálnych technológií (tabuľkový procesor) na vytvorenie jednoduchej tabuľky a grafu.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – diskutovanie o spôsoboch zberu údajov a ich spracovaní; používanie pojmu aritmetický priemer a priemerná hodnota v komunikácii a argumentácii; interpretovanie vlastností číselných súborov pomocou aritmetického priemeru.
Geometria
1. Jednoduché rovinné geometrické útvary, vlastnosti a vzťahy
Pojmy
Aktívne: trojuholník (vrcholy a strany), štvoruholník (vrcholy, strany a uhlopriečky), štvorec, obdĺžnik, susedné strany, protiľahlé strany, uhlopriečka; kružnica, kruh, stred, polomer, priemer, polkruh, štvrťkruh; stred úsečky, os úsečky, rovnobežky, rôznobežky, priesečník, kolmice
Pasívne: polrovina, rovina, opačné polpriamky; päta kolmice; mnohouholník, rovnobežník, rôznobežník
Vzťahy
patrí/nepatrí, leží/neleží; vzájomná poloha dvoch priamok v rovine; vlastnosť stredu úsečky ako bodu rovnako vzdialeného od krajných bodov úsečky; kružnica a os úsečky ako množiny bodov s danou vlastnosťou; vzťah medzi polomerom a priemerom kružnice/kruhu
Postupy
rozlišovanie, vyznačovanie a označovanie rovinných útvarov (polrovina, rovina, opačné polpriamky, trojuholníky, štvoruholník, mnohouholník) nezávisle na ich polohe; rozhodovanie o incidencii bodov (patrí/nepatrí, leží/neleží) s útvarmi; identifikácia a rysovanie dvojíc rovnobežných, rôznobežných a kolmých priamok, označovanie priesečníkov a päty kolmice; rysovanie trojuholníka, štvorca a obdĺžnika s danými dĺžkami strán (pomocou pravítka a kružidla alebo dynamickej geometrie), rysovanie ďalších mnohouholníkov v štvorcovej sieti; triedenie štvoruholníkov podľa vzájomnej polohy a dĺžky strán; určenie stredu úsečky manipulačnou činnosťou, odhadom, meraním alebo rysovaním pomocou kružidla; objavenie (experimentovaním) spoločnej vlastnosti bodov ležiacich na kružnici a na osi úsečky; tvorba útvarov (modelovaním a náčrtom) podľa zadaných vlastností a rozpoznávanie situácií, ktoré sa nedajú geometricky modelovať
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – modelovanie a nachádzanie v realite rôznych polôh priamok v rovine pomocou predmetov, náčrtu a rysovania; tvorba rôznych reprezentácií trojuholníkov, štvoruholníkov a mnohouholníkov prostredníctvom pomôcok, rysovania alebo softvérových produktov; rozpoznávanie modelov a nemodelov trojuholníkov a štvoruholníkov.
Matematické modelovanie – riešenie aplikačných geometrických úloh a riešenie jednoduchých konštrukčných úloh s využitím geometrických vzťahov, polohových a metrických vlastností geometrických útvarov; identifikovanie praktických situácií, v ktorých sa používa geometrické modelovanie a ich riešenie pomocou dostupných nástrojov; využívanie vlastností trojuholníkov, štvoruholníkov a ďalších rovinných útvarov v analýze a riešení konštrukčných úloh.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – diskutovanie a argumentovanie o incidencii bodov s útvarmi a vzájomnej polohe útvarov; používanie symbolického zápisu geometrických útvarov a vzťahov (patrí/nepatrí, kružnica daná stredom a polomerom, kolmosť, rovnobežnosť); opisovanie vlastností trojuholníkov a štvoruholníkov a ich aplikovanie pri triedení; nachádzanie inkluzívnych (podmnožinových) vzťahov medzi štvoruholníkmi, diskutovanie o nich a komunikovanie o rôznych triediacich kritériách štvoruholníkov; diskutovanie a argumentovanie o podmienkach existencie geometrických útvarov
2. Jednoduché priestorové geometrické útvary, vlastnosti a vzťahy
Pojmy
Aktívne: kocka, kváder (steny, vrcholy a hrany), valec, kužeľ, ihlan, guľa, hranatý, oblý
Pasívne: sieť kocky, kvádra, telesa; pohľad zhora, spredu, zboku, plán stavby z kociek; súradnice bodu
Vzťahy
vzťahy medzi rovinnými a priestorovými útvarmi; vzťah medzi protiľahlými ohodnotenými stenami na hracej kocke
Postupy
telesá a ich siete – rozlišovanie a určovanie priestorových útvarov (kocka, kváder, valec, kužeľ, ihlan, guľa); určovanie rovinných útvarov na telesách (štvoruholníky a trojuholníky ako steny telies, body a úsečky ako vrcholy a hrany); objavovanie sietí kocky a kvádra manipulačnou činnosťou a ich zaznamenávanie; stavby z kociek – stavanie zložitejších stavieb z kociek podľa plánu a tvorba plánu podľa stavby; slovné alebo symbolické (šifra) opisovanie a zaznamenávanie stavby z kociek; identifikácia a oprava chyby v zázname stavby z kociek alebo v stavbe z kociek; záznam stavby z kociek zhora, spredu a zboku; stavba z kociek podľa daného pohľadu zhora, zboku a spredu; skúmanie a určovanie pohľadov spredu, zhora a zboku na telesá zložené z kociek a kvádrov; orientácia v priestore – určenie súradníc bodu a zakreslenie bodu so zadanými súradnicami v prvom kvadrante karteziánskej sústavy súradníc; umiestňovanie predmetov/útvarov a realizácia pohybu v rovine a priestore na základe pokynov; riešenie zložitejších labyrintov, hľadanie optimálnej cesty podľa požiadaviek a jej slovný opis, odvaľovanie kocky s odlíšenými stenami (pomocou farieb, symbolov alebo čísel) podľa grafického predpisu (stopy odvaľovania) alebo slovného opisu pohybu
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – modelovanie telies, sietí jednoduchých telies a stavieb z kociek a iných telies pomocou stavebníc alebo iných pomôcok (vrátane digitálnych); znalosť a používanie reprezentácií záznamov stavieb z kociek (pohľady, plán a pod.).
Matematické modelovanie – rozhodovanie, ktoré rovinné útvary môžu/nemôžu byť sieťou kocky alebo kvádra; objavovanie jednoznačnosti plánu stavby z kociek a využívanie vzťahov medzi plánom a počtom kociek v stavbe; objavovanie nejednoznačnosti troch pohľadov (zhora, spredu, zboku) na stavbu z kociek, t. j. jednému záznamu 3 pohľadov môžu existovať rôzne stavby; využívanie vzťahu medzi protiľahlými stenami na hracej kocke pri riešení úloh zameraných na rozvíjanie orientácie v priestore a priestorovú predstavivosť.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – opisovanie vlastností a významných prvkov jednoduchých telies; komunikovanie o stavbách z kociek a telies a zdôvodňovanie ich záznamov, resp. diskutovanie o zistených chybách; používanie slovného opisu pri algoritmickom postupe stavania stavby z kociek; diskutovanie o existencii a počte sietí kocky a kvádra; používanie karteziánskej súradnicovej sústavy pri komunikácii o polohách bodov a útvarov v prvom kvadrante a pri opise pohybu (cesty) v rovine.
3. Práca s uhlom a operácie s uhlami
Pojmy
Aktívne: uhol, vrchol, ramená, ostrý, pravý, tupý a priamy uhol
Pasívne: os uhla
Vzťahy
vzťah pravého a priameho uhla; porovnávanie uhlov (väčší, menší, zhodný)
Postupy
modelovanie a vyznačovanie uhlov ako časti roviny; určovanie významných prvkov uhla; určovanie a vyznačovanie bodov patriacich/nepatriacich uhlu; odhadovanie veľkosti uhla podľa klasifikácie (ostrý, pravý, tupý, priamy) prenášanie a porovnávanie uhlov pomocou manipulácie; súčet a rozdiel uhlov pomocou manipulácie; modelovanie osi uhla
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – vyhľadávanie príkladov a používanie reprezentácií rôznych typov uhlov (ostrý, pravý, tupý, priamy) na manipulačnej úrovni.
Matematické modelovanie – riešenie jednoduchých aplikačných úloh s využitím polohových vlastností uhlov.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – používanie geometrických pojmov pri komunikácii o uhloch, ich označovanie; zdôvodňovanie svojho odhadu typu uhla, klasifikácie uhlov.
4. Rozšírené postupy merania a určovania miery
Pojmy
Aktívne: dĺžka úsečky, dĺžka strany, jednotky dĺžky (mm, cm, dm, m, km); obvod, obsah
Pasívne: obsah v jednotkovej štvorcovej sieti; objem ako počet jednotkových kociek
Vzťahy
vzťahy medzi jednotkami dĺžky a ich premeny; nejednoznačnosť vzťahu medzi obsahom a obvodom útvarov (útvary s rovnakým obvodom môžu mať rôzny obsah a naopak; útvar s menším obsahom môže mať väčší obvod v porovnaní s iným útvarom a naopak)
Postupy
prenášanie, porovnávanie a usporiadanie úsečiek podľa dĺžky rysovaním alebo inými nástrojmi; modelovanie grafického súčtu, rozdielu úsečiek a grafického násobku úsečiek; premeny jednotiek dĺžky – premieňanie jednotiek dĺžky (aj nesusedných, aj zmiešaných); obvod – určenie obvodu štvorca a obdĺžnika v štvorcovej sieti; určenie obvodu nepravidelných mnohouholníkov zložených z jednotkových štvorcov; určovanie grafického obvodu trojuholníka, štvorca a obdĺžnika; určenie obvodu výpočtom (sčítaním známych dĺžok strán); tvorba (modelovaním a náčrtom) útvarov so zadaným obvodom; obsah – určovanie obsahu obdĺžnika, štvorca a pravouhlého trojuholníka zo štvorcovej siete; určovanie obsahu nepravidelných mnohouholníkov zložených zo štvorcov, obdĺžnikov a jednotkových pravouhlých trojuholníkov; výpočet obsahu obdĺžnika a štvorca s celočíselnými dĺžkami strán na základe poznatkov z násobenia (bez vzorcov); tvorba (modelovaním a náčrtom) útvarov so zadaným obsahom; objem – objem kocky a kvádra pomocou modelovania z jednotkových kociek; odhad a určenie objemu kocky a kvádra na základe skúseností z modelovania pomocou jednotkových kociek
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie reprezentácií jednotiek dĺžky, obvodu, obsahu, objemu (vlastné jednotky, univerzálne jednotky) na odhadovanie a určovanie miery útvarov; používanie meracích a iných nástrojov na zistenie miery dĺžky, obvodu a obsahu.
Matematické modelovanie – riešenie aplikačných úloh s využitím elementárnych poznatkov o miere rovinných útvarov (dĺžka, obvod, obsah) a s využitím jednotkovej dĺžky a využitím vzťahov medzi nimi, resp. využitím jednotkového štvorca alebo inej vhodnej jednotky; používanie skladania a rozkladania útvarov na určenie ich miery a ich porovnanie.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – používanie pojmov miery (dĺžka, obvod, obsah, objem) a univerzálnych jednotiek dĺžky, obvodu a obsahu; odhadovanie miery útvarov na základe predstavy o jednotkách dĺžky (vzdialenosť, obvod), predstavy o jednotkových štvorcoch (obsah), jednotkových kockách (objem) a diskutovanie o presnosti odhadu a merania; diskutovanie o vzťahu medzi obvodom a obsahom útvarov v štvorcovej sieti a argumentovanie o nejednoznačnosti tohto vzťahu pomocou príkladov.
5. Skúmanie vlastností súmernosti a základy posunutia
Pojmy
Aktívne: osová súmernosť, os súmernosti, vzor, obraz
Pasívne: posunutie v štvorcovej sieti
Vzťahy
zhodnosť geometrických útvarov v osovej súmernosti a posunutí
Postupy
identifikácia osovo súmerných útvarov, určenie a vyznačenie osi súmernosti osovo súmerných útvarov; práca s osovo súmernými útvarmi v štvorcovej sieti (podľa vodorovnej, zvislej aj šikmej osi súmernosti), ich dokreslenie, resp. oprava; nakreslenie/zostrojenie obrazu jednoduchého útvaru (bodu, úsečky alebo mnohouholníka) v osovej súmernosti podľa osi súmernosti (vodorovnej, zvislej aj šikmej); identifikácia posunutých útvarov v štvorcovej sieti, určenie smeru a veľkosti posunutia; zakresľovanie výsledku posunutia jednoduchého útvaru/symbolu v štvorcovej sieti pri zadanom smere (šípka) a veľkosti posunutia (počet štvorčekov siete); doplnenie a tvorba mozaiky ako aplikácie zhodných zobrazení na úrovni manipulácie
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – rozoznávanie a modelovanie osovo súmerných útvarov skladaním a strihaním papiera, v štvorcovej sieti, pomocou priesvitky alebo iných nástrojov; znalosť a používanie reálnych reprezentácií posunutia v hrách.
Matematické modelovanie – využívanie osovej súmernosti v praktických činnostiach a situáciách a jej aplikovanie pri riešení jednoduchých geometrických úloh; tvorba a skladanie jednoduchých mozaík (tesalácie, vyplňovanie roviny) s použitím zhodných zobrazení v rovine.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – používanie jednoduchej, veku primeranej terminológie osovej súmernosti a posunutia; komunikovanie o jednoduchých pozorovaných vlastnostiach osovej súmernosti a posunutia; overovanie a zdôvodňovanie postupu a výsledkov riešení problémov súvisiacich s osovou súmernosťou a posunutím.
