Hlavným cieľom 3. cyklu matematického vzdelávanie je, aby žiaci disponovali rozvinutou matematickou gramotnosťou, primerane abstraktne uvažovali o pojmoch, vzťahoch a postupoch a mali osvojené matematické praktiky na takej úrovni, ktorá im umožňuje nielen samostatne riešiť, ale aj efektívne spolupracovať pri riešení zložitejších matematických úloh.
Výkonový štandard
1. cieľ vzdelávania pre 3. cyklus: Používať prirodzené, celé, racionálne a reálne čísla, operácie s číslami a ich vlastnosti v matematickom modelovaní problémov.
Žiak vie/dokáže:
- riešiť, vysvetľovať a interpretovať zložitejšie problémy pomocou prirodzených čísel s využitím ich vlastností a aplikovaním operácií s prirodzenými číslami,
- riešiť, vysvetľovať a interpretovať zložitejšie problémy pomocou celých čísel s využitím ich vlastností a aplikovaním operácií s celými číslami,
- vykonávať operácie vyžadujúce prepojenie viacerých vyjadrení racionálnych čísel a aplikovať ich pri riešení matematických a kontextových úloh, zdôvodňovať vzťahy medzi rôznymi formami zápisu racionálnych čísel, uvažovať o existencii racionálneho čísla a vysvetľovať prácu s racionálnymi číslami,
- integrovať poznatky a skúsenosti z rôznych číselných oborov, modelovať problémové situácie pomocou vybraných reprezentácií reálnych čísel a využívať matematický aparát a digitálne nástroje na riešenie problémov v rôznych oblastiach života.
2. cieľ vzdelávania pre 3. cyklus: Spoľahlivo pracovať s algebrickými výrazmi, rovnicami a nerovnicami, uvažovať o ich zmysluplnosti a význame v riešení úloh.
Žiak vie/dokáže:
- matematizovať a riešiť reálne situácie využitím algebrických výrazov, lineárnych rovníc a nerovníc,
- špecifikovať obmedzenia alebo predpoklady riešenia úlohy a identifikovať a riešiť úlohy s chýbajúcimi alebo nadbytočnými informáciami.
3. cieľ vzdelávania pre 3. cyklus: Identifikovať náročnejšie vzťahy v číselných postupnostiach, nachádzať funkčné vzťahy v reálnych súvislostiach, použiť matematické nástroje na ich modelovanie a interpretáciu.
Žiak vie/dokáže:
- rozhodovať o podstate závislostí, aplikovať priamu a nepriamu úmernosť v praktických situáciách a matematických úlohách, vyjadrovať vzťahy medzi členmi postupností,
- skúmať lineárne funkcie, orientovať sa v tabuľkách, grafoch a symbolických predpisoch lineárnych funkcií a využívať ich na modelovanie a riešenie matematických a praktických problémov.
4. cieľ vzdelávania pre 3. cyklus: Objavovať analógie v kombinatorických situáciách, vyhodnocovať pravdepodobnostné situácie v jednoduchých pokusoch, tvoriť jednoduché hypotézy, overovať ich a vyvodzovať závery.
Žiak vie/dokáže:
- strategicky uvažovať pri riešení kombinatorických situácií, rozpoznávať analogické kombinatorické situácie v rôznych reprezentáciách a uplatňovať objavené pravidlá pri ich riešení,
- simulovať pravdepodobnostné situácie pomocou primeraných hier alebo pokusov, určovať a zvažovať pravdepodobnosť udalostí pri opakovaných pokusoch a skúmať vzťah medzi teoretickou a experimentálnou pravdepodobnosťou.
5. cieľ vzdelávania pre 3. cyklus: Používať a určovať jednoduché štatistické charakteristiky pri spracovaní a interpretácii údajov, diskutovať o chybných interpretáciách a ich vplyve na opis skutočnosti.
Žiak vie/dokáže:
- prepájať súvislosti medzi údajmi z rôznych reprezentácií a modelov, ilustrovať, predpovedať, porovnávať, analyzovať a interpretovať (primárne alebo sekundárne) štatistické dáta.
6. cieľ vzdelávania pre 3. cyklus: Využívať polohové a metrické vlastnosti geometrických útvarov na riešenie zložitejších geometrických aj praktických úloh s využitím množín bodov s danou vlastnosťou.
Žiak vie/dokáže:
- skúmať zložitejšie planimetrické situácie, uvažovať o vlastnostiach rovinných útvarov, využívať polohové aj metrické vlastnosti útvarov pri riešení geometrických problémov, systematizovať planimetrické poznatky a využiť skúsenosti z postupu riešenia jednoduchých geometrických úloh pri riešení praktických problémov,
- uvažovať a diskutovať o geometrických útvaroch v priestore, o ich významných prvkoch a vlastnostiach, objavovať vzťahy medzi nimi a riešiť jednoduché stereometrické problémy,
- navrhovať a aplikovať postupy merania a určovania miery rovinných a priestorových útvarov, zovšeobecňovať ich, symbolicky vyjadrovať metrické závislosti, riešiť aplikačné úlohy na určenie miery útvarov a diskutovať o ich využití v každodennom živote a rôznych profesiách,
- uvažovať o zhodných a podobných zobrazeniach v rovine, o ich vlastnostiach a aplikovať ich pri riešení úloh v praktickom aj geometrickom kontexte,
- konceptualizovať a zovšeobecňovať geometrické činnosti vedúce ku vzniku množín bodov s danou vlastnosťou a aplikovať ich pri riešení konštrukčných úloh v planimetrii.
7. cieľ vzdelávania pre 3. cyklus: Konceptualizovať a zovšeobecňovať matematické situácie a skúsenosti z ich riešenia, hľadať alternatívne stratégie a využívať primerané argumenty na zdôvodnenie.
Žiak vie/dokáže:
- využívať matematické poznatky, symbolické a formálne množinové operácie a vzťahy na riešenie úloh vyžadujúcich logické uvažovanie, formuláciu záverov, interpretáciu a argumentáciu,
- uvažovať o obmedzeniach použitia matematických reprezentácií, používať prevažne symbolické reprezentácie a vyberať vhodné matematické nástroje (vrátane digitálnych) na riešenie problémov.
Obsahový štandard
Čísla a operácie s číslami
1. Prirodzené čísla, vlastnosti a operácie
Pojmy
Aktívne: deliteľnosť, zvyšok po delení, prvočíslo, zložené číslo, násobok, deliteľ, najmenší spoločný násobok, najväčší spoločný deliteľ
Vzťahy
deliteľnosť prirodzených čísel: kritériá deliteľnosti, zložené číslo ako súčin prvočísel; súdeliteľné a nesúdeliteľné čísla
Postupy
riešenie úloh s viacerými operáciami (aj pomocou digitálnych nástrojov) a aplikovanie poradia operácií s prirodzenými číslami; objavovanie, používanie a overovanie kritérií deliteľnosti 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 100; hľadanie najmenšieho spoločného násobku a najväčšieho spoločného deliteľa; rozklad prirodzeného čísla na súčin prvočísel
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie reprezentácií prirodzených čísel (modely z reálneho sveta), používanie číselnej osi ako univerzálneho modelu na znázornenie prirodzených čísel; vhodné (grafické, symbolické) reprezentovanie čísla deliteľného, resp. nedeliteľného daným prirodzeným číslom.
Matematické modelovanie – navrhovanie stratégie na riešenie problémov s využitím prirodzených čísel a operácií s nimi aj s využitím ich vlastností a kritérií deliteľnosti prirodzených čísel; riešenie kontextových úloh s prirodzenými číslami a aplikačné úlohy s využitím najmenšieho spoločného násobku a najväčšieho spoločného deliteľa.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – správne používanie terminológie pri opisovaní vlastností prirodzených čísel, argumentovanie kritéria deliteľnosti 2, 5, 10, 100 na kognitívne primeranej úrovni a na neformálnej úrovni odôvodnenie kritéria deliteľnosti 3 a 9.
2. Celé čísla, vlastnosti a operácie
Pojmy
Aktívne: kladné a záporné celé číslo; opačné čísla, absolútna hodnota
Vzťahy
porovnávanie a usporiadanie celých čísel; priorita operátorov; aritmetické operácie s celými číslami
Postupy
znázorňovanie a určovanie celých čísel na číselnej osi; určovanie opačných celých čísel; porovnávanie a usporiadanie celých čísel; aplikovanie a vysvetľovanie pamäťových, písomných a elektronických algoritmov aritmetických operácií s celými číslami (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie); určenie absolútnej hodnoty celého čísla a objavenie jej geometrického významu
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie reprezentácie celých čísel (modely z reálneho sveta); používanie číselnej osi ako univerzálneho modelu na znázornenie celých čísel.
Matematické modelovanie – navrhovanie stratégie a riešenie aplikačných úloh s využitím (kladných a záporných) celých čísel, ich vlastností a operácií s nimi, vykonávanie skúšky správnosti.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – čítanie a zapisovanie celých čísel; správne používanie terminológie a opis vlastností celých čísel v diskusiách a písomnej komunikácii; hľadanie, zdôvodnenie a oprava chyby vo výpočtovom postupe s celými číslami.
3. Racionálne čísla, vlastnosti a operácie
Pojmy
Aktívne: desatinné číslo, desatinná čiarka, celá a desatinná časť desatinného čísla, zlomok, čitateľ, menovateľ, zlomková čiara, spoločný menovateľ, základný tvar zlomku, desatinný zlomok, zložený zlomok, percento (%), základ, počet percent, hodnota prislúchajúca počtu percent
Pasívne: periodické číslo, perióda; rozšírený tvar zlomku, prevrátený zlomok, zmiešané číslo; promile, úrok, jednoduché úrokovanie; úroková miera, pôžička, úver, vklad, debet, kredit, rozpočet, transakcia, istina, DPH
Vzťahy
porovnávanie a usporiadanie racionálnych čísel; ekvivalencia zlomkov; súvislosti medzi rôznymi vyjadreniami racionálnych čísel: zlomok, desatinné číslo, percento
Postupy
určovanie absolútnej hodnoty racionálnych čísel; porovnávanie, usporiadanie a zaokrúhľovanie kladných i záporných desatinných čísel, znázornenie desatinných čísel na číselnej osi, rozvinutý zápis čísla v desiatkovej sústave; vykonávanie aritmetických operácií s desatinnými číslami (súčet, rozdiel, súčin, podiel); objavenie periodických čísel a určovanie periódy; zlomky – modelovanie zlomkov ako časti celku a ako počet prvkov časti celku, reprezentovanie zlomku ako čísla a ako operátora; tvorba ekvivalentných zlomkov; porovnávanie a usporiadanie zlomkov, zjednodušovanie zlomkov, rozširovanie zlomkov, úprava zloženého zlomku, úprava zmiešaného čísla na zlomok a opačne; uvažovanie a rozhodovanie, kedy má/nemá zlomok zmysel; aritmetické operácie so zlomkami; výpočet zlomkovej časti z celku; zápis zlomkov v tvare desatinných čísel a naopak; odhad veľkosti zlomku a odhad výsledku aritmetickej operácie so zlomkami; percentá – určovanie 1 % ako stotiny základu a 1 promile ako tisíciny základu, určovanie a výpočet percent, základu, hodnoty prislúchajúcej počtu percent; výpočet výšky zľavy (resp. ceny po zľave), určovanie a výpočet ceny bez DPH a s DPH; čítanie a interpretácia údajov súvisiacich s počtom percent/promile z diagramov; výpočet istiny, úroku z danej istiny pri danej úrokovej miere; tvorba rozpočtu (rodinného, na výlet, oslavu a pod.)
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – aktívne používanie rôznych reprezentácií desatinných čísel, zlomkov a percent; využívanie číselnej osi ako univerzálneho modelu na znázornenie racionálnych čísel.
Matematické modelovanie – analyzovanie a navrhovanie riešenia aplikačných úloh s využitím reprezentácií a vzťahov medzi racionálnymi číslami, vykonávanie aritmetických operácií s racionálnymi číslami pri riešení a interpretácii aplikačných úloh; využívanie zaokrúhľovania, odhadu a približných hodnôt racionálnych čísel pri riešení aplikačných úloh; riešenie primeraných kontextových úloh z oblasti finančnej gramotnosti.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – čítanie, zapisovanie, grafické znázornenie racionálnych čísel a ich zaokrúhlených hodnôt; zdôvodnenie algoritmu pre aritmetické operácie s racionálnymi číslami; diskutovanie o význame hodnôt vyšších ako
100 % a nižších ako 1 %, posudzovanie reálnych situácií o výhodnosti zliav.
4. Reálne čísla, vlastnosti a operácie
Pojmy
Aktívne: druhá a tretia mocnina a odmocnina, číslo π (pí)
Pasívne: základ (mocnenec), exponent (mocniteľ), stupeň odmocnenia, základ odmocniny; celočíselný exponent; iracionálne číslo
Vzťahy
súvis mocnín čísla 10 s predponami; vzťahy medzi reprezentáciami druhej a tretej mocniny (obsah štvorca, objem kocky)
Postupy
zapisovanie súčinu väčšieho počtu rovnakých činiteľov v tvare mocniny a opačne; algoritmy počítania druhých a tretích mocnín, resp. mocnín racionálnych čísel s celočíselným exponentom s využitím digitálnych nástrojov; práca s mocninami čísla 10, čítanie, zapisovanie, znázorňovanie na číselnej osi, približné hodnoty reálnych čísel a ich porovnávanie; používanie vedeckého zápisu čísla (a.10n, 1≤a≤10); narábanie s veľmi veľkými a veľmi malými číslami (umocnenie čísel medzi 0 a 1, umocnenie čísel väčších ako 1); odhadovanie a zaokrúhľovanie reálnych čísel
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie rôznych reprezentácií reálnych čísel (vrátane miesta na číselnej osi s danou presnosťou); využívanie geometrickej reprezentácie druhej/tretej mocniny/odmocniny a čísla π.
Matematické modelovanie – riešenie aplikačných úloh s využitím reálnych čísel a ich vlastností a aplikovanie operácii s reálnymi číslami; využívanie odhadu a približných hodnôt pri riešení praktických úloh.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – čítanie a zapisovanie druhej a tretej mocniny ľubovoľného racionálneho čísla; čítanie a zapisovanie druhej odmocniny ľubovoľného kladného racionálneho čísla a tretej odmocniny ľubovoľného racionálneho čísla; používanie rôzneho vyjadrenia reálnych čísel v komunikácii a diskusiách pri riešení problémov.
Závislosti, vzťahy a práca s údajmi
1. Algebrické výrazy, rovnice a nerovnice
Pojmy
Aktívne: výraz, hodnota číselného výrazu, koeficient, premenná, člen s premennou, neznáma, lineárna rovnica/nerovnica s jednou neznámou, pravá a ľavá strana rovnice/nerovnice, riešenie (koreň) rovnice/nerovnice
Pasívne: číselný výraz, algebrický výraz, výraz s jednou a viacerými premennými, výraz s premennou v menovateli; podmienka riešiteľnosti
Vzťahy
rovnosť a nerovnosť číselných výrazov; podmienka pre výraz s premennou v menovateli a pre riešenie rovnice a nerovnice; ekvivalencia algebrických výrazov; súvis algebrického a grafického vyjadrenia rovnice a nerovnice
Postupy
určovanie hodnoty výrazu, dosadzovanie čísel za premenné, rozhodovanie o rovnosti/nerovnosti číselných a algebrických výrazov, určovanie, kedy má/nemá výraz zmysel; aritmetické operácie s číselnými a algebrickými výrazmi; modelovanie súčtu, rozdielu a súčinu mnohočlenov; použitie analógií s operáciami so zlomkami pri súčte, pri rozdiele a pri súčine lomených výrazov; zjednodušovanie výrazov s premennými: roznásobovanie zátvoriek, vynímanie pred zátvorku; úprava na spoločného menovateľa (aj s premennou v menovateli); modelovanie druhej mocniny dvojčlena (a±b)2 a a2−b2 a úpravy výrazov, ktoré ich obsahujú, určovanie podmienok riešiteľnosti rovníc/nerovníc; reprezentácia a vykonávanie ekvivalentných úprav a riešenie rovníc/nerovníc s jednou neznámou a skúška správnosti; vyjadrovanie a výpočet neznámej zo vzorca (napr. Pytagorova veta); zápis slovnej podmienky nerovnicou; riešenie jednoduchých sústav lineárnych rovníc a nerovníc na prípravnej úrovni, grafické riešenie (aj s využitím vhodného digitálneho nástroja); tvorba číselných a algebrických výrazov opisujúcich reálnu alebo matematickú situáciu
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – modelovanie súčtu a rozdielu mnohočlenov pomocou konkrétných reprezentácií členov; modelovanie súčinu dvojčlena typu (a+b) (c+d) ako obdĺžnika so stranami (a+b) a (c+d); analogicky súčiny typu (a−b) (c+d), súčin dvojčlena a trojčlena atď.; výraz (a±b)2 ako obsah štvorca so stranou (a+b) resp. (a−b); Výraz a2−b2 ako obsah obdĺžnika so stranami (a+b) a (a−b); použitie vhodných pomôcok na reprezentáciu ekvivalentných úprav.
Matematické modelovanie – používanie symbolického jazyka pri tvorbe výrazov podľa slovného opisu a pri matematizácii problému vedúceho k použitiu lineárnych rovníc/nerovníc; navrhovanie vhodnej stratégie riešenia slovných úloh, jej modelovanie a riešenie pomocou lineárnych rovníc/nerovníc a ich úprav, overovanie riešenia; interpretovanie matematického modelu slovnej úlohy vyjadrenej rovnicou/nerovnicou.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – slovná interpretácia výrazov a rovníc/nerovníc; diskutovanie o neznámej vo vyjadrení výrazu, vo vyjadrení rovnice/nerovnice a o podmienkach riešiteľnosti úlohy; interpretovanie, obhajovanie a odôvodňovanie postupu a výsledku v kontexte riešenej situácie; diskutovanie o častých chybách pri použití algebrických identít (napríklad (a+b)2 ≠a2+b2) a argumentácia s pomocou reprezentácií.
2. Pomer, úmernosti a postupnosti
Pojmy
Aktívne: pomer, priama a nepriama úmernosť, postupnosť, člen postupnosti
Pasívne: prevrátený pomer, postupný pomer ako skrátený zápis jednoduchých pomerov; mierka mapy a plánu
Vzťahy
zväčšenie/zmenšenie čísla/množstva vyjadrené zlomkom, desatinným číslom i percentom; vzťah medzi zmenou dĺžok strán, resp. hrán a vplyvom na obsah, obvod útvaru, prípadne povrch a objem telesa; priamo úmerné a nepriamo úmerné závislosti; vzťahy medzi členmi postupností
Postupy
rozdeľovanie, zväčšovanie a zmenšovanie čísla/množstva v danom pomere; zisťovanie skutočnej veľkosti/vzdialenosti využitím mierky mapy a plánu; tvorba jednoduchého plánu s využitím vhodnej mierky; rozhodovanie o vzťahu priamej a nepriamej úmernosti, čítanie a použitie údajov z grafu alebo z tabuľky priamej a nepriamej úmernosti, zostrojenie grafu priamej úmernosti, zostavenie tabuľky závislosti; objavovanie a aplikovanie metód na výpočet priamej a nepriamej úmernosti, objavovanie pravidiel zložitejších postupností (obrázkové, číselné) a doplnenie chýbajúcich členov
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – rozoznávanie a používanie reprezentácií rôznych závislostí (úmernosti, postupnosti) a práca s reprezentáciami pomeru (mapy, plány).
Matematické modelovanie – navrhovanie stratégie a riešenie kontextových úloh na priamu a nepriamu úmernosť a primerané slovné úlohy na pomer, praktické úlohy s použitím mierky plánu a mapy aj za pomoci digitálnych technológií.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – ústne vyjadrovanie podstaty závislostí; zapisovanie, symbolické a grafické vyjadrovanie závislostí a vytváranie ich kontextu; vysvetľovanie významu a použitie pomeru na mapách a vysvetlenie činnosti súvisiacej s tvorbou a použitím plánov.
3. Základy práce s funkciami a lineárna funkcia
Pojmy
Aktívne: súradnicové osi, súradnice bodu, lineárna funkcia, graf
Pasívne: pravouhlý systém súradníc, sústava súradníc v rovine, funkcia, funkčná hodnota, graf funkcie; lineárna závislosť
Vzťahy
najväčšia, najmenšia, nulová hodnota; bod na grafe a vzťah medzi jeho prvou a druhou súradnicou; súvislosti medzi reprezentáciami lineárnej funkcie (tabuľka, predpis, graf)
Postupy
používanie pravouhlej súradnicovej sústavy na znázornenie bodov (daných súradnicami), úsečiek alebo mnohouholníkov; doplnenie chýbajúcej súradnice bodu vyznačeného v súradnicovej sústave; prevod medzi reprezentáciami lineárnej funkcie (predpis, graf, tabuľka) aj s využitím digitálnych nástrojov; práca s vlastnosťami funkcií na intuitívnej a prípravnej úrovni pomocou čítania z grafu (určenie najväčšej a najmenšej hodnoty, monotónnosť funkcie, priesečníky grafu s osami)
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – používanie pravouhlej súradnicovej sústavy ako univerzálneho modelu na znázornenie bodov a funkčných závislostí; využívanie reprezentácií lineárnej funkcie (tabuľka, predpis, graf).
Matematické modelovanie – navrhovanie stratégie a riešenia úlohy s využitím jednoduchých funkčných závislostí a interpretovanie výsledkov, riešenie aplikačných úloh s využitím funkčných závislostí a pozorovanie priebehu funkcie.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – ústne, písomné, symbolické a grafické vyjadrovanie funkčných vzťahov, vytváranie ich kontextu; zovšeobecňovanie a argumentovanie lineárnej závislosti.
4. Pokročilé kombinatorické postupy a nástroje
Pojmy
Pasívne: usporiadanie prvkov s opakovaním a bez opakovania
Vzťahy
pravidlo súčinu a súčtu
Postupy
hľadanie organizačného princípu kombinatorických situácií; systematické vypisovanie alebo grafické znázornenie možností podľa zvoleného kritéria; objavenie pravidla súčtu a súčinu a aplikovanie pravidla pri určovaní počtu možností
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – rozhodovanie a výber vhodnej reprezentácie prvkov a ich usporiadania v kombinatorických situáciách (tabuľka, strom alebo iný diagram).
Matematické modelovanie – navrhovanie stratégie riešenia zložitejších kombinatorických situácií a ich konceptualizácia, vyhodnocovanie a aplikovanie podmienok pri usporadúvaní prvkov.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – formulovanie a odôvodňovanie vlastného pravidla pre zistenie počtu objektov vybraných z daného súboru; používanie kvantifikátorov v komunikácii pri riešení kombinatorických úloh, zdôvodňovanie ich významu a vplyvu na počet riešení úlohy.
5. Riešenie zložitejších pravdepodobnostných situácií
Pojmy
Aktívne: udalosť, istá, možná, nemožná udalosť; pravdepodobnosť
Pasívne: doplnková pravdepodobnosť; experimentálna a teoretická pravdepodobnosť
Vzťahy
vzťah medzi experimentálnou a teoretickou pravdepodobnosťou (na primeranej kognitívnej úrovni); udalosť a k nej doplnková udalosť; pravdepodobnosť a k nej doplnková pravdepodobnosť
Postupy
vykonávanie jednoduchých pokusov (hier) a pozorovanie pravdepodobnosti udalosti v závislosti od počtu pokusov; porovnávanie rôznych udalostí vzhľadom na mieru ich pravdepodobnosti; určenie pravdepodobnosti jednoduchých nezávislých javov; určenie doplnkovej pravdepodobnosti
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – narábanie s modelmi a vytváranie jednoduchých modelov pre nemožné, možné a isté udalosti, tiež pre veľmi nepravdepodobné a veľmi pravdepodobné udalosti; využívanie vhodných grafických reprezentácií (Vennov diagram, strom) pre určenie pravdepodobnosti pri jednoduchých a opakovaných pokusoch.
Matematické modelovanie – zovšeobecnenie pozorovaných postupov do jednoduchých pravidiel; zostavovanie matematického modelu jednoduchej pravdepodobnostnej reálnej situácie, ktorú možno simulovať; využívanie poznatkov o pravdepodobnosti jednoduchých nezávislých javov a ich opakovania pri tvorbe jednoduchých hypotéz a ich overovania; sledovanie informácií s pravdepodobnostným charakterom v bežnom živote a ich konfrontácia so skutočnosťou.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – formulovanie odhadov pravdepodobnosti a diskutovanie o priebehu a výsledku pravdepodobnostných situácií v jednoduchých pokusoch a hrách; vyjadrovanie pravdepodobnosti pre výrazy používané v bežnom jazyku (asi, určite, možno, zriedka a pod.) a diskusia o subjektívnom vnímaní týchto výrazov.
6. Pokročilé nástroje na prácu s údajmi
Pojmy
Aktívne: údaj, hodnota, aritmetický priemer, medián, najmenšia (minimálna) a najväčšia (maximálna) hodnota, frekvenčná tabuľka/graf
Pasívne: štatistika, štatistický súbor, štatistická jednotka a znak, dáta, štatistický prieskum; absolútna a relatívna početnosť
Vzťahy
charakteristiky polohy (priemer, medián) a vzťahy medzi nimi a hodnotami v štatistickom súbore (neformálna úroveň); súvis priemernej absolútnej odchýlky s rozložením údajov v súbore
Postupy
vyhľadanie alebo doplnenie údajov v texte, tabuľke alebo diagrame; určovanie absolútnej a relatívnej početnosti; určovanie aritmetického priemeru, mediánu a rozhodovanie o vhodnosti ich použitia; výpočet priemernej absolútnej odchýlky a interpretácia jej významu ako charakteristiky súboru dát; tvorba frekvenčných tabuliek a grafov, aj využitím vhodného digitálneho nástroja; interpretácia získaných dát
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – voľba vhodnej reprezentácie údajov a charakteristík na opis súboru údajov; porovnávanie rôznych znázornení dát (tabuľka, kruhový, stĺpcový a iné diagramy) daného súboru údajov.
Matematické modelovanie – modelovanie vplyvu vlastností výberu na výsledky štatistických výskumov; zostavenie, vyhodnotenie a prezentovanie jednoduchých štatistických prieskumov a odôvodnenie voľby metódy a krokov; využívanie vhodných/dostupných digitálnych nástrojov na spracovanie údajov.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – používanie jednoduchých pojmov matematickej štatistiky v komunikácii a argumentácii; diskutovanie, kritické posudzovanie a interpretovanie dostupných jednoduchých reprezentácií a vyhodnotenie údajov z bežného života; diskutovanie o reprezentatívnosti a veľkosti výberu na presnosť štatistického výskumu.
Geometria
1. Rovinné geometrické útvary, vlastnosti a vzťahy
Pojmy
Aktívne: rovnobežné a rôznobežné priamky, uhol, ramená uhla, vrchol uhla; priamy, pravý, ostrý, tupý, uhol väčší ako priamy; os uhla; vrcholový, susedný, striedavý a súhlasný uhol, vnútorný a vonkajší uhol mnohouholníka; trojuholník (vrcholy, strany), pravouhlý, ostrouhlý a tupouhlý trojuholník; rovnostranný, rovnoramenný, rôznostranný trojuholník; základňa a ramená rovnoramenného trojuholníka, odvesny a prepona pravouhlého trojuholníka, významné prvky trojuholníka (výška, päta výšky, ťažnica, ťažisko, priesečník výšok), trojuholníková nerovnosť, štvoruholník, rovnobežník, pravouholník (štvorec, obdĺžnik), kosoštvorec, kosodĺžnik, lichobežník (pravouhlý, rovnoramenný, všeobecný), základňa, rameno, výška lichobežníka; mnohouholník; pravidelný šesťuholník, pravidelný osemuholník; kružnica a kruh (stred, polomer, priemer), kružnicový oblúk, dotyčnica
Pasívne: medzikružie, kruhový odsek a výsek, tetiva; sečnica, nesečnica
Vzťahy
vzájomné polohy útvarov; súčet vnútorných uhlov v trojuholníku a štvoruholníku; vzťah medzi vnútorným a vonkajším uhlom v trojuholníku, vlastnosti súhlasných a striedavých uhlov; vlastnosti a vzťahy významných prvkov v trojuholníku; trojuholníková nerovnosť; ťažnica a vzdialenosť ťažiska od strany a vrcholu (deliaci pomer); vlastnosti štvoruholníkov a ich klasifikácia podľa počtu a dĺžky strán, veľkosti vnútorných uhlov, vlastností uhlopriečok a ich priesečníkov; vzťah polomeru a priemeru, stredový uhol
Postupy
opisovanie, pomenovanie a charakteristika významných prvkov a vlastností rovinných útvarov, triedenie rovinných útvarov podľa vlastností, práca s modelmi a nemodelmi útvarov, hľadanie príkladov a protipríkladov geometrických situácií; rozhodovanie o vzájomných polohách priamok, vzájomných polohách priamky a kružnice a ich konštrukcia; identifikácia súhlasných a striedavých uhlov a ich využitie pri riešení geometrických úloh; konštrukcia uhla; modelovanie a konštrukcia výšok a ťažníc a osí strán a objavenie, že každá trojica sa pretína v jednom bode (ortocentrum, ťažisko); objav vlastnosti priesečníka osí strán (stred opísanej kružnice); skúmanie možných polôh ťažiska, ortocentra a stredu opísanej kružnice pomocou dynamickej geometrie; konštrukcie trojuholníka s využitím množín bodov danej vlastnosti, zdôvodnenie a využitie trojuholníkovej nerovnosti; konštrukcia štvoruholníkov; konštrukcia výšok a ďalších významných prvkov v štvoruholníku, konštrukcia pravidelného šesťuholníka; konštrukcia kružnice, určovanie vzdialenosti stredu od tetivy, objavenie postupu konštrukcie a konštrukcia dotyčnice ku kružnici; identifikácia kružnicového oblúka a výseku prislúchajúcich stredovému uhlu, vyznačenie kruhového odseku; riešenie polohových a metrických konštrukčných úloh s využitím množín bodov danej vlastnosti
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – tvorba a využívanie reprezentácie modelov a nemodelov rovinných útvarov (napr. pomocou štvorcovej, trojuholníkovej alebo inej siete, konštruovaním pomocou rysovacích alebo softvérových nástrojov) podľa daných vlastností v rôznych polohách a veľkostiach; hľadanie útvarov so zadanými vlastnosťami pomocou náčrtov.
Matematické modelovanie – používanie skúseností a poznatkov o rovinných útvaroch pri návrhu stratégií a riešení polohových a metrických geometrických úloh v matematickom aj aplikačnom kontexte; modelovanie reálnych problémov planimetrického charakteru pomocou geometrických nástrojov a algoritmov, využívanie nástrojov na realizáciu riešenia geometrického problému, interpretovanie a využívanie výsledkov v reálnych súvislostiach; využívanie polohových a metrických vlastností útvarov pri riešení konštrukčných úloh.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – používanie terminológie rovinnej geometrie, diskutovanie o polohových aj metrických vlastnostiach rovinných útvarov; diskutovanie a argumentovanie o podmienkach existencie geometrických útvarov, diskusia o výbere vlastností, ktoré definujú zvolený útvar, slovné opisovanie a formálne zapisovanie postupu geometrickej konštrukcie a zdôvodnenie riešenia primeranou argumentáciou o vzťahoch medzi významnými prvkami útvarov a využitím množín bodov so spoločnou vlastnosťou.
2. Priestorové geometrické útvary, vlastnosti a vzťahy
Pojmy
Aktívne: kocka, kváder, hranol, ihlan, vrchol, hrana, stena, výška telesa, stenová a telesová uhlopriečka; valec, kužeľ, guľa (stred, polomer, priemer), podstava, plášť, sieť telesa; pohľad spredu, zhora a zboku
Pasívne: teleso (jednoduché a zložené), hranol (kolmý, pravidelný, n-boký), ihlan (pravidelný, n-boký) guľová plocha; nárys, pôdorys a bokorys
Vzťahy
hierarchické a inkluzívne vzťahy medzi priestorovými útvarmi; vzťahy medzi počtom vrcholov, stien a hrán pravidelných telies
Postupy
určovanie a triedenie jednoduchých telies na základe ich vlastností, určovanie kritérií triedenia; objavovanie hierarchických a inkluzívnych vzťahov medzi priestorovými útvarmi; zaznamenávanie a tvorba modelov jednoduchých telies a stavieb z telies (voľné rovnobežné premietanie, nárys, pôdorys a bokorys, siete telies); tvorba telies z kociek a kvádrov podľa záznamu alebo slovného opisu; identifikácia a znázorňovanie viditeľných a neviditeľných hrán v pohľade; objavovanie vzťahov medzi počtom vrcholov, stien a hrán pravidelných telies; identifikácia a konštrukcia siete telies, modelovanie sietí kocky využitím dĺžky siete; určovanie a tvorba pohľadov na jednoduché a zložené telesá
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – tvorba a používanie rôznych reprezentácií (predmetné modely a záznamy) jednoduchých telies na skúmanie ich významných prvkov a vlastností; tvorba modelov sietí jednoduchých telies pomocou konštrukčných nástrojov alebo softvéru; tvorba a používanie modelov zložených telies a stavieb z telies.
Matematické modelovanie – riešenie úloh súvisiacich s rozvíjaním priestorovej predstavivosti a problémové úlohy o vzťahoch medzi dvojrozmernými a trojrozmernými útvarmi, medzi jednoduchými a zloženými telesami.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – aktívne opisovanie, pomenovanie a zaznamenanie jednoduchých a zložených telies v rôznych veľkostiach a polohách; komunikovanie o vlastnostiach telies a ich významných prvkoch; interpretovanie rôznych záznamov telies a ich zdôvodnenie, identifikovanie chyby a navrhovanie jej korekcie.
3. Pokročilé postupy merania a určovania miery
Pojmy
Aktívne: veľkosť uhla, uhlomer; stupeň, minúta; obvod, jednotky dĺžky; obsah, jednotky obsahu (mm2, cm2, dm2, m2, km2, a, ha); povrch a objem telies (kocka, kváder, ihlan, valec); jednotky povrchu (mm2, cm2, dm2, m2, km2), jednotky objemu (mm3, cm3, dm3, m3, cl, ml, dl, l, hl); jednotky hmotnosti (g, dg, kg, t); číslo pí (π)
Pasívne: výmera
Vzťahy
vzťah medzi vrcholovými uhlami a susednými uhlami; vzťah medzi stupňami a minútami; vzťahy medzi jednotkami dĺžky a ich premeny; vzťahy medzi jednotkami obsahu a ich premeny; vzťahy medzi jednotkami povrchu a ich premeny; vzťahy medzi jednotkami objemu a ich premeny (1l = 1 dm3); vzťahy medzi jednotkami hmotnosti; vzťah súčtu vnútorných uhlov trojuholníka a štvoruholníka; vzťah medzi priemerom a polomerom kruhu/kružnice; vzťah medzi obvodom kruhu a jeho priemerom (odhady a približné hodnoty čísla π a jeho geometrická interpretácia); Pytagorova veta a jej význam
Postupy
odhadovanie a určenie veľkosti daného uhla v stupňovej miere s presnosťou na stupne, konštrukcia uhla s danou veľkosťou; určenie súčtu a rozdielu veľkostí uhlov; určenie veľkosti susedného a vrcholového uhla k danému uhlu; prevody medzi stupňami a minútami a naopak; odvodenie a aplikovanie vzťahu o súčte veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku; výpočet veľkosti vnútorného alebo vonkajšieho uhla v trojuholníku; využitie Pytagorovej vety, odhad a výpočet obvodu útvarov (rovnobežník, trojuholník, lichobežník, pravidelný n-uholník, kruh, resp. dĺžka kružnice a kružnicového oblúka) úvahou a aplikovaním odvodených vzťahov; odhad a výpočet obsahu útvarov (rovnobežník, trojuholník, lichobežník, kruh, kruhový výsek, zložený útvar) úvahou a aplikovaním odvodených vzťahov; odhad a výpočet objemu a povrchu telies úvahou a aplikovaním odvodených vzťahov; premeny jednotiek hmotnosti a ich využitie v praxi
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – tvorba a používanie reprezentácií na vysvetlenie podstaty merania, odhadovanie a určovanie miery (štvorcová sieť, jednotkové kocky a pod.) útvarov; používanie vlastných a univerzálnych jednotiek, rozličné meracie nástroje (vrátane digitálnych) na meranie a určovanie miery útvarov; používanie manipulácie alebo vhodných grafických reprezentácií na objavenie vzťahu pre súčet vnútorných uhlov trojuholníka a štvoruholníka a vzťahu medzi vnútornými a vonkajšími uhlami trojuholníka.
Matematické modelovanie – vytváranie a riešenie geometrických situácií zameraných na proces merania, riešenie primeraných aplikačných úloh na určenie miery rovinných a priestorových útvarov (veľkosť uhla, dĺžka úsečky, obvod, obsah, objem, povrch) aj s využitím premeny jednotiek; využívanie polohových a metrických vlastností útvarov pri riešení konštrukčných úloh.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – používanie správnej terminológie a symbolického jazyka v kontexte určovania miery rovinných a priestorových útvarov; slovné interpretovanie a vysvetľovanie vzťahov súvisiacich s mierou a jednotkami miery; diskutovanie o rôznych postupoch merania a ich presnosti, porovnávanie nameraných hodnôt s predbežným odhadom i výpočtom, argumentácia o dostatočnosti odhadu či potreby presného merania v praktických situáciách.
4. Skúmanie množín bodov v geometrii
Pojmy
Aktívne: os úsečky, os uhla; Tálesova kružnica
Vzťahy
spoločná vlastnosť bodov ležiacich na významných množinách bodov v rovine (os úsečky, os uhla, dotyčnice ku kružnici, Tálesova kružnica)
Postupy
skúmanie a opis množín bodov s danou vlastnosťou (vrátane osi úsečky, osi uhla, Tálesovej kružnice); konštrukcia množín bodov s danou vlastnosťou (os úsečky, os uhla, Tálesova kružnica) pomocou rysovacích nástrojov alebo geometrického softvéru; konštrukcia vpísanej a opísanej kružnice trojuholníku; využitie Tálesovej kružnice pri konštrukcii trojuholníka a dotyčnice ku kružnici
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – voľba a aplikovanie vhodnej reprezentácie množiny bodov danej vlastnosti (pomocou náčrtu, pravítka a kružidla alebo geometrického softvéru).
Matematické modelovanie – využívanie polohových a metrických vlastností útvarov pri riešení konštrukčných úloh; aplikovanie znalosti o množinách bodov pri hľadaní riešení komplexnejších matematických a praktických úloh využitím vhodných nástrojov.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – diskutovanie o množinách bodov s danou vlastnosťou a vysvetľovanie ich praktického významu; zovšeobecňovanie konštrukčných postupov na zostrojenie množín bodov s danou vlastnosťou; prepojenie geometrickej konštrukcie, jej slovného opisu a symbolického zápisu.
5. Skúmanie zhodných a podobných zobrazení v rovine a ich vlastností
Pojmy
Aktívne: osová a stredová súmernosť, stred súmernosti, os súmernosti, vzor a obraz; osovo a stredovo súmerné útvary; zhodné a podobné trojuholníky, pomer/koeficient podobnosti
Pasívne: zhodnosť a podobnosť geometrických útvarov
Vzťahy
vzťah medzi súmernosťou a zhodnosťou geometrických útvarov; vety o zhodnosti trojuholníkov (sss, sus, usu); vety o podobnosti trojuholníkov (sss, sus, uu)
Postupy
zhodné zobrazenia – rozhodovanie o zhodnosti rovinných útvarov; objavovanie podmienok pre zhodnosť trojuholníkov na základe konštrukcie trojuholníka pri zadaní troch strán, dvoch strán a jedného uhla, dvoch uhlov a jednej strany (manipuláciou alebo použitím geometrického softvéru); rozhodovanie o zhodnosti dvoch trojuholníkov v rovine a aplikovanie viet o zhodnosti trojuholníkov v konštrukčných úlohách; identifikácia osovo a stredovo súmerných útvarov; určovanie vzorov a obrazov útvarov v osovej a stredovej súmernosti (bod, úsečka, trojuholník, štvoruholník, kružnica/kruh alebo iný jednoduchý útvar), určovanie stredu/osi v stredovej/osovej súmernosti; konštrukcia osovo a stredovo súmerného útvaru pomocou rysovacích alebo digitálnych nástrojov; podobné zobrazenia – rozhodovanie o podobnosti útvarov, objavovanie podmienok pre podobnosť trojuholníkov na základe analógie s vetami o zhodnosti trojuholníkov; určovanie pomeru podobnosti dvoch podobných trojuholníkov; aplikovanie viet o podobnosti trojuholníkov pri riešení výpočtových a konštrukčných úloh; odhadovanie skutočných vzdialeností a výšok v teréne pomocou vlastnosti podobnosti trojuholníkov; určovanie skutočnej vzdialenosti využitím mierky mapy alebo skutočných rozmerov miestností/ predmetov podľa mierky plánu
Matematické praktiky:
Matematické reprezentácie – využívanie a tvorba reprezentácie zhodných a podobných útvarov (napr. zrkadlo, tlačiareň, lupa, digitálny geometrický systém) a uvažovanie o ich obmedzeniach a výhodách.
Matematické modelovanie – navrhovanie postupov riešenia praktických geometrických a konštrukčných úloh s využitím poznatkov o zhodných a podobných zobrazeniach; tvorenie mozaík (tesalácie, vyplňovanie roviny) s použitím zhodných zobrazení v rovine pomocou rysovacích alebo digitálnych nástrojov.
Matematický jazyk, komunikácia a argumentácia – zapisovanie a interpretovanie geometrických postupov vyžadujúcich využitie symetrií a škálovania (zväčšenie, zmenšenie); vysvetľovanie podstaty zhodnosti a podobnosti a zdôvodňovanie riešení súvisiacich so zhodnými a podobnými zobrazeniami; diskutovanie o jednoduchých pozorovaných vlastnostiach zhodných a podobných zobrazení.
